symulacje-komputerowe-w-fizyce full, ebooki

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->6Symulacje komputerowe w fizyce2.7.3. Konstrukcja bryły sztywnej............................................................................852.7.4. Konstrukcja modelu poruszającej się postaci.................................................872.8. Podsumowanie ..........................................................................................................90Rozdział 3. Rozwiązanie numeryczne równania falowego ..................................... 913.1. Co to jest fala?...........................................................................................................913.2. Klasyczne równanie falowe ......................................................................................923.3. Równanie falowe w jednym wymiarze........................................................................923.3.1. Podział równania falowego na układ dwóch sprzę onych równańró niczkowych pierwszego rzędu ..................................................................933.3.2. Siatka ró nicowa Eulera w jednym wymiarze ...............................................943.3.3. Rozwiązanie algorytmiczne układu równań sprzę onych................................943.3.4. Algorytm programu realizującego równanie falowe 1D ..................................963.3.5. Efekty działania przedstawionego algorytmu ..............................................1013.4. Równanie falowe w dwóch i więcej wymiarach przestrzennych ..............................1063.4.1. Siatka ró nicowa Eulera w dwóch wymiarach.............................................1063.4.2. Realizacja symulacji równania falowego w dwóch wymiarach...................1103.5. Podsumowanie ........................................................................................................113Rozdział 4. Symulacje cieczy nieściśliwej .......................................................... 1174.1. Równanie Naviera-Stokesa dla cieczy nieściśliwej ................................................1174.1.1. Warunek nieściśliwości cieczy.....................................................................1184.1.2. Pola wektorowe ............................................................................................1194.1.3. Analiza równania Naviera-Stokesa ..............................................................1214.2. Rozwiązanie uproszczone równań NS.......................................................................1244.2.1. Równanie płytkiej wody...............................................................................1244.2.2. Warunek zachowania masy ..........................................................................1254.2.3. Końcowa postać równania dla płytkiej wody...............................................1264.2.4. Przybli enie dyskretne .................................................................................1264.2.5. Efekty działania............................................................................................1304.3. Pełne rozwiązanie równań NS dla cieczy nieściśliwej............................................1324.3.1. Reprezentacja cieczy ....................................................................................1334.3.2. Schematy ró nicowe dla równania NS.........................................................1394.3.3. Warunki brzegowe .......................................................................................1484.3.4. Algorytm programu......................................................................................1524.3.5. Wizualizacja rezultatów obliczeń.................................................................1654.4. Podsumowanie ........................................................................................................169Rozdział 5. Równanie Schrödingera ................................................................... 1715.1.5.2.5.3.5.4.5.5.5.6.Funkcja falowa — wektor stanu układu kwantowego ............................................171Ewolucja w czasie stanu układu kwantowego ........................................................172Dyskretna postać operatora ewolucji w czasie........................................................173Schemat rozwiązania ró nicowego .........................................................................174Stan początkowy układu .........................................................................................175Implementacja .........................................................................................................1755.6.1. Algorytm programu......................................................................................1765.6.2. Konstrukcja stanu początkowego.................................................................1765.6.3. Pętla obliczeniowa........................................................................................1785.7. Rezultaty .................................................................................................................1805.8. Podsumowanie ........................................................................................................181Bibliografia .................................................................................... 183Skorowidz...................................................................................... 189Rozdział 5.Równanie SchrödingeraMechanika kwantowa jest bardzo zaawansowaną dziedziną fizyki współczesnej. Jejzrozumienie jest zadaniem na lata i czytelnik raczej nie znajdzie tu systematycznegowykładu z tej dziedziny. Postaramy się natomiast przedstawić kompletne rozwiązanienumeryczne równania Schrödingera1, którego interpretację fizyczną i analizę znajdzieczytelnik w wykładach z mechaniki kwantowej w pracach [18], [19], [20] czy [21].W literaturze tematu, oprócz świetnej pozycji [19], raczej trudno znaleźć ciekawe wizu-alizacje efektów kwantowych. Rozwiązania zagadnień mechaniki kwantowej są trudnedo wyobra enia i sprzeczne z naszą intuicją. Zazwyczaj autorzy pozycji traktującycho MK poprzestają na ogromnej ilości wzorów, których piękno samo w sobie dostrzecmo na dopiero po latach wytę onej pracy. W tym rozdziale postaramy się przedstawićgraficznie rozwiązania numeryczne równania Schrödingera w jednym i dwóch wymia-rach przestrzennych. Jak się oka e, numeryczne rozwiązywanie zagadnień mechanikikwantowej nie jest niczym strasznym, a rezultaty są niesamowite i piękne. Wizualizacjarozwiązań będzie analogiczna do wizualizacji rozwiązań z rozdziału trzeciego; wszakrozwiązaniem naszym jest te fala...5.1. Funkcja falowa — wektor stanuukładu kwantowegoAby rozpocząć rozwa ania na temat rozwiązania numerycznego równania Schrödingera,musimy poznać niezbędne minimum wiedzy na jego temat, czyli określić, czego taknaprawdę szukamy. Jakich rozwiązań mamy się spodziewać? Jaką interpretację fizycz-ną mają rozwiązania tego równania?Odpowiedź na te pytania jest w zasadzie prosta, lecz interpretacja jej rozwiązań — ju nie.Zagadnienie funkcji falowej w mechanice kwantowej ma bezpośredni związek z po-jęciem prawdopodobieństwa2. Weźmy pojedynczą cząstkę — elektron. W przypadku12Na płycie CD została u yta pisownia nazwiska w formie Schroedinger.Zakładamy, e pojęcie prawdopodobieństwa nie jest czytelnikowi obce.172Symulacje komputerowe w fizyceklasycznym opisujemy go, podając jego poło enie i pęd. W przypadku kwantowym— stan elektronu opisuje funkcja falowa zwana te często wektorem stanu. W takimrazie nawet najprostszy układ, jakim jest pojedynczy elektron, musi mieć odpowiadającąmu funkcję falowąΨ. Skoro tak, to jaka jest funkcja falowa poruszającego się elek-tronu? Czy jest to po prostu punkt w płaszczyźnie dwuwymiarowej, który porusza sięw określonym kierunku3?I tu pojawia się problem zwany nieoznaczonością Heisenberga. Niestety — nawet dla po-jedynczej cząstki kwantowej nie mo emy jednoznacznie określić jednocześnie jej poło e-nia i pędu. W takim razie funkcja falowa (zwana te wektorem w przestrzeni Hilberta sta-nu układu kwantowego) musi być „rozmyta” w przestrzeni. Funkcja falowa określa namprawdopodobieństwo znalezienia elektronu w danym miejscu przestrzeni. Rozwiązującrównanie Schrödingera zale ne od czasu, dla ka dego kroku czasowego otrzymamy roz-kład prawdopodobieństwa znalezienia cząsteczki w konkretnym miejscu w przestrzeni.Doskonale widoczne będzie te rozmywanie w czasie stanu układu, tak e wreszcie wska-zanie „gdzie znajduje się elektron w danym momencie” nie będzie mo liwe.5.2. Ewolucja w czasie stanuukładu kwantowegoChcielibyśmy wprowadzić kilka standardowych pojęć występujących w mechanicekwantowej. Mamy nadzieję, e czytelnik nie zrazi się do tego, bo w gruncie rzeczyzostanie poprowadzony za rękę i nie powinien mieć problemów ze zrozumieniem tekstu.Wa na jest znajomość pewnych podstaw matematycznych (równanie cząstkowe, dzia-łania na liczbach zespolonych). Warto te , aby czytelnik zajrzał do wspomnianej wewstępie literatury tematu.Interesującym nas zagadnieniem jest ewolucja stanu układu kwantowego. Ewolucjaw czasie opisywana jest przez równanie ró niczkowe cząstkowe drugiego rzędu zwanerównaniem Schrödingera z czasem:r(5.1)r∂Ψ(r,t)=HΨ(r,t)ih∂tgdzie odpowiednio:h=rΨ(r,t)h2πjest stałą Plancka dzieloną przez2π,jest wektorem (przestrzeni Hilberta) stanu układu kwantowego,3Cały czas mówić będziemy o reprezentacji poło eniowej funkcji falowej; z innymi reprezentacjamistanu układów kwantowych czytelnik mo e zapoznać się we wspomnianej literaturze.Rozdział 5.♦Równanie Schrödingera173Hijest hamiltonianem kwantowym układu (operatorem Hamiltona),oznacza część urojoną liczby zespolonej (tu — część urojoną równania).Naszym zadaniem jest znaleźć ewolucję wektora stanuΨ(r,t). Aby to zrobić, nale yprzede wszystkim rozwinąć hamiltonian do postaci jawnej. Dla swobodnej paczki falowejreprezentującej np. swobodny elektron hamiltonian zapisujemy w postaci:rrh2 2H=−∇ +V(r)2mgdzie(5.2)−jest kwantowym operatorem pędu, aV(r)określa niezale ny od czasu potencjał.Tak zdefiniowany hamiltonian, po podstawieniu do równania (5.1) i wprowadzeniuspecjalnych jednostek, dla którychh=1im=1/2,sprowadza równanie (5.1) do postaci4:r(5.3)rr∂Ψ(r,t)= − ∇2+V(r)Ψ(r,t)i∂th2 2∇2mr()Dla wprowadzonych jednostek ogólna postać rozwiązania równania (5.3) jest znana:rr(5.4)Ψ(r,t)=e−iHtΨ(r,0)gdzie wyrazenazywa się operatorem ewolucji czasowej, a wektorΨ(r,0)określastan początkowy układu w chwilit=0.Oznacza to, e dla zadanego stanu początkowegomo emy wyznaczyć stan układu w dowolnej chwilit>0,korzystając z operatora ewolu-cji czasowej.−iHtr5.3. Dyskretna postaćoperatora ewolucji w czasieZadanie nasze w praktyce sprowadzi się do przybli enia ró nicowego operatora ewolucjiczasowej oraz rozwiązania tak zadanego równania ró niczkowego. Dyskretna postaćtego operatora nadająca się do rozwiązania ró nicowego nosi nazwę postaci Caleya:e−iHt≈1−iH∆t/ 21+iH∆t/ 2(5.5)4Patrz pozycja [9], strona 851. Postępujemy tak jedynie dla uproszczenia równania Schrödingera,które mo na byłoby rozwiązywać wraz z wszystkimi stałymi. Podejście takie stosuje się częstow celu uproszczenia formy zapisu równań opisujących zjawiska fizyczne. [ Pobierz całość w formacie PDF ]